拓展：星系中的碰撞
星团中的恒星如此之多，它们和热气体中的气体分子的速度分布或者其它性质是否相似？
对于星系中恒星的假设：恒星的质量都为 m，且在随机方向上都以平均速度 V 运动。这一假设与我们对热学中平均自由程的推导是类似的。
一、强交会
定义：两颗恒星相遇，碰撞完全改变了他的速度和运动方向
$$ \delta V=|\vec{v}{start}-\vec{v}{end}|\approx V $$
与平均自由程相似，我们考虑强交会的碰撞半径 rs，在这里我们称其为强交会半径 $r_s$ 对于只考虑引力系统的二体问题，我们自然可以计算他的双曲线轨道，进而得到初末速度的夹角 $\theta$，进而通过 $\theta>\theta_0=\pi/10$ 来得到碰撞半径。这里我们就做一个简单的估计就可以了：我们认为当两颗恒星十分接近时的引力势能的绝对值（它们最后都会变成动能的一部分）与初始动能相等
$$ \frac{Gm^2}{r}\ge\frac{1}{2}mV^2 $$
所以强交会半径为
$$ r\le r_s=\frac{2Gm}{V^2} $$
给大家一些直观的印象，对于太阳附近，恒星的随机速度 V=30 km/s，取 $m=M_{sun}$ 此时强交会半径
$$ r_s=1.5\times10^{11}m=1\text{AU} $$
有了强交会半径，我们可以进而计算“强交会自由程 $\lambda_s$”以及“强交会时标 $t_s$”，这里需要引入恒星的数密度 n，他和热学中气体的数密度物理意义是相似的，表达了单位体积内恒星的数量。于是上述量应该满足
$$ \frac{1}{n}=\pi r_s^2\cdot\lambda_s=\pi r_s^2\cdot Vt_s $$
于是强交会时标为
$$ t_s=\frac{V^3}{4\pi G^2m^2n}=4\times10^{12}yr\left( \frac{V}{10km/s} \right)^3\left( \frac{m}{M_{sun}} \right)^{-2}\left( \frac{n}{1pc^{-3}} \right)^{-1} $$
这个强交会时标的物理意义是，对一个恒星两次相邻的强交会事件的时间间隔。对于太阳附近的恒星数密度大约为 $n\sim0.1pc^{-3}$，所以我们计算得到
$$ t_s=10^{15}yr»13.7Gyr $$
这里 13.7 Gyr 是宇宙现在的年龄。强交会时标远长于宇宙年龄，这说明太阳/太阳系很少和另一个恒星靠的足够近（也很合理，大概没有另外的恒星出现在地球附近）。
但是。对于星系的核球，以及球状星团的致密核心，强交会确实经常发生，非常重要的。
二、弱交会
定义：两颗恒星相遇，碰撞几乎不改变恒星的速度和方向
$$\delta V=|\vec{v}{start}-\vec{v}{end}|« V $$
显然，弱交会相比于强近交会是更频繁发生的，一次弱交会对恒星速度的改变很小。我们从简单的情况出发。考虑两颗恒星的投影距离为 b，且 b»rs ，那么恒星的拉拽给 m 一个垂直于轨道的速度 $v_\perp«V$
$$ v_\perp=\frac{1}{m}\int_{-\infty}^{\infty} F_\perp(t) , dt=\frac{1}{m} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{Gm^2b}{(b^2+V^2t^2)^{3/2}} , dt= \frac{2Gm}{bV} $$
但同时，由于弱交会想比强交会更容易发生，恒星应该在同一时刻被很多其他恒星的引力所影响，我们不能再像强交会那样，作为二体引力系统处理。
当恒星穿过银河系时，其他恒星对它的拉拽来自不同的方向，这种拉拽可以用“脉冲近似”来计算，是一个瞬时的作用。那么这种改变的期望值为
$$ \langle \Delta V_\perp^2 \rangle=\int_{b_{min}}^{b_{max}} nVt\left( \frac{2Gm}{bV} \right)^22\pi b , db=\frac{8\pi G^2m^2nt}{V}\ln\left( \frac{b_{max}}{b_{min}} \right) $$
其中 $b_{min}=r_s, b_{max}\sim 100pc$，为弱交会恒星所在的区域，他的区域边界分别是整个恒星系统的大小和强交会半径，对于太阳附近的恒星，这个值大概为
$$ \ln\left( \frac{b_{max}}{b_{min}} \right)=\ln\Lambda=18-22 $$
有同学可能会疑惑，既然速度改变的方向是随机的，那速度应该不发生巨大的变化。这里其实是混淆的矢量和标量的概念，我们可以用酒鬼的随机行走来类比，理解这种差异。
下面我们引入“弛豫时标”的概念：恒星在经历一段时间的弱交会后，初始轨道的“记忆”失去，这段时间的长度称为“弛豫时标”。更具体的，恒星的速度改变和原始速度相同，即有
$$ \langle \Delta V_\perp^2 \rangle= V^2 $$
带入前文中的表达式得到弛豫时标 $t_{relax}$
$$ t_{relax}=\frac{t_{s}}{2\ln\Lambda} $$
对于太阳来说，这个值虽然比强交会更小，但仍然大于宇宙年龄。
三、穿越时标
在无相互作用的情况下，穿越整个恒星系统（星系或星团）需要的时间
$$ t_{cross}=\frac{R}{V} $$
由位力定理可以给出 $t_{relax}$ 中 $\Lambda$ 的大小
$$ \frac{1}{2}NmV^2=\frac{G(Nm)^2}{2R} $$
所以
$$ \Lambda=R / r_{s}=\left( \frac{GNm}{V^2} \right) / \left( \frac{2Gm}{V^2} \right) =\frac{N}{2}$$
即有
$$ \frac{t_{relax}}{t_{cross}}=\frac{N}{6\ln (N/2)}$$
这说明当系统中的恒星越多时，弱交会就越不重要。对于疏散星团，$n=10pc^{-3}, V=1km/s$，这时的穿越时标为 5Myr，弛豫时标为 50Myr，说明弱交会在其恒星运动中会产生较大的作用。
四、恒星蒸发
这里的蒸发与热学中的相变不同，指恒星从恒星系统中逃逸。对于恒星系统而言，如果我们用弛豫时标来观察它的演化，恒星系统在每一时刻大致处于平衡态，他的数量随能量的分布将服从麦克斯韦-玻尔兹曼分布
$$ f(\varepsilon)d\varepsilon \propto \exp\left( -\frac{\varepsilon}{kT} \right)d\varepsilon = \exp\left( -\frac{\frac{1}{2}mv^2+\phi(r)}{kT} \right)d\varepsilon $$
这里不加证明地指出，逃逸所需要的动能是平均动能（3/2kT）的四倍,，于是逃脱的恒星占比为
$$ \int_{4v_{0}}^\infty Af(v)4\pi v^2 , dv\approx\frac{1}{136} $$
于是可以定义蒸发时标
$$ t_{evap}=136t_{relax} $$
对于球状星团，这个值比宇宙年龄还长，所以我们能够看到年老的球状星团。但对于疏散星团，这个值大约在 $10^9$ yr，这个值在宇宙年龄的尺度上很小，它很容易瓦解，所以我们只能看到年轻的球状星团。
五、质量层化和核坍缩
在观测中我们发现，星团中不同质量的恒星分布的并非均匀。
- 空间层化：大质量恒星倾向于在中心聚集，而小质量恒星则在星团外部。
- 速度层化：大质量恒星速度弥散小，小质量恒星速度弥散大
这是因为星团的弛豫过程。首先，由于能均分定理，所有恒星具有相同的动能，所以大质量恒星的速度会偏小；同时，大质量恒星在经过一次碰撞后速度减小，进入低能轨道，向中心下沉；而低质量恒星则获得能量，倾向于向外。
上述过程导致星团中心区域的恒星倾向于失去能量，外部的恒星趋向于获得能量。这也导致星团中心恒星越来越密集，外部的恒星则愈发疏散。在 $12-20t_{relax}$ 后，星团的核半径趋近于 0，中心密度无限增加，即核坍缩。