Chapter 3: 46, 47, 60, 61, 50, 51
Chapter 4: 4, 5, 6, 7, 8
作业答案
3-46
求解理想气体为工质 p-V 图中热机效率的是非常重要且简单的，其计算公式为
$$ \eta=\frac{W}{Q_{吸}}=1－\frac{Q_放}{Q_吸} $$
我一般把这种题目的步骤分为两部分：
- 确定循环过程中吸放热的变化点
- 计算 p-V 图中关键点的状态量
- 计算循环的吸热和放热，或吸热和做功
需要注意的是，吸放热的变化点并不一定是 p-V 图中尖锐的顶点。需要依据热力学第一定律确定。而对于第二部分则有多种方法和技巧，其中通法仍是使用热力学第一定律。
然后是掌握等压、等温、等体、绝热四种过程的计算。四种过程中，等压和等体过程的吸热放热，做功是容易计算的；等温过程的做功需要用到简单的微积分，利用热力学第一定律，对理想气体其内能只与温度有关，故吸热与对外做功相等： $$ Q=W=\int_{V_1}^{V_2} p , dV= nRT \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} , dV=nRT\ln(V_2/V_1) $$ 而对绝热过程，直接计算做功较为复杂容易出错，我建议大家使用绝热方程 $pV^\gamma=Const$ 计算初末态温度，再通过温度来计算内能变化，结合绝热过程不吸放热，所以外界对气体做功等于气体内能的增加。
最后提供一些实用的小结论：循环对外做功 W 就是 p-V 图中的体积；循环的效率只与循环在 p-V 图中的“形状”有关，与 p，V 的相对大小无关。
回到本题，循环过程中，气体在 c->a->b 吸热， b->c 放热。一个循环内吸热为 $$ Q_{吸}=Q_{ca}+Q_{ab}=nC_V(T_a-T_b)+nRT_a\ln(V_b/V_a)=\frac{3}{2}p_cV_c+2p_cV_c\ln2 $$ 而放热为 $$ Q_{放}=-Q_{bc}=nC_p(T_b-T_c)=\frac{5}{2}p_cV_c $$ 其中用到了单原子气体的等压热容和等体热容 $$ C_V=\frac{3}{2}R,~ C_p=\frac{5}{2}R $$ 综合吸放热的结果，该热机的效率为 $$ \eta=1-\frac{Q_{放}}{Q_{吸}}=1-\frac{2.5}{1.5+2\ln 2}=13.384% $$
3-47
由于循环过程中 AB、CD 为绝热过程，所以整个循环中只有 B->C 吸热，D->A 放热，所以有 $$ Q_{1}=nC_{p}(T_{c}-T_{b}), ~Q_{2}=nC_{V}(T_{D}-T_{A}) $$ 其中 Q1，Q2 分别为吸放热。对于绝热过程有 $$ TV^{\gamma-1}=Const $$ 其中 $$ \gamma=\frac{C_{p}}{C_{V}} $$ 故有 $$ V_{2}T_{B}^{\gamma-1}=V_{1}T_{A}^{\gamma-1},~V_{3}T_{C}^{\gamma-1}=V_{1}T_{D}^{\gamma-1} $$ 同时对于 BC 有等压过程，由理想气体的状态方程易得 $$ T_{C}=T_{B} \frac{V_{3}}{V_{2}} $$ 综合上述推导，我们整理得到 $$ \eta=1-\frac{Q_{2}}{Q_{1}} = 1-\frac{\left( \frac{V_{3}}{V_{2}} \right)^{\gamma-1}-1}{\gamma \left( \frac{V_{1}}{V_{2}} \right)^{\gamma-1}\left( \frac{V_{3}}{V2}-1 \right)} $$
3-60
（1）由卡诺定律，制冷机最大吸热为 $$ Q_{2}=\varepsilon W=(\eta^{-1}-1)W=\left((1-\frac{T_2}{T_1})^{-1}-1\right)W=12.18J $$ （2）室内得到的热量即为电阻丝加热需要的电能 $$ Q_{1}=\eta^{-1}W=13.18J $$ 在本题中我们认为这些电能全部转化为热能。 （3）向室内传送的热量为 $$ Q_{1}=\eta^{-1}W=\left( 1-\frac{T_{2}}{T_{1}} \right)^{-1}W $$ 上式说明，制冷机输送的热量反比于卡诺热机效率。当室外温度即 T2 降低后，卡诺热机的效率 $\eta$ 升高，所以输送的热量减少。
3-61
房间气温达到最低 T 时，房间的吸热为 $$ Q_{吸}=B(T_1-T) $$ 其中室外温度 T1=310K，此时房间的放热为 $$ Q_{放} = \varepsilon W_{有效} = 0.9 \varepsilon W_{输入} $$ 其中制冷机系数为 $$ \varepsilon=\frac{1}{2} \frac{T_{1}}{T_{1}-T} $$ 房间的吸放热平衡得到 $$ T=296.2K~or~324.4K $$ 由于房间温度低于室外，我们略去没有物理意义的解，综上 $$ T=296.2K $$
3-50
分别运用卡诺定理即可，对于第一个热机有 $$ \eta_{1}=\frac{W_{1}}{Q_{1}}=1-\frac{T_{1}}{T_{2}} $$ 对于第二个热机有 $$ \eta_{2}=\frac{W_{2}}{Q_{3}}=1-\frac{T_{3}}{T_{2}} $$ 由题意，中间的热源只有吸热和放热，这说明 $$ Q_{2}=Q_{3} $$ 所以有 $$ \frac{W_{1}+W_{2}}{Q_{1}}=\eta_{1}+\frac{W_{2}}{Q_{2}} \frac{Q_{2}}{Q_{1}}=\eta_{1}+\frac{W_{2}}{Q_{3}}\left( 1-\frac{W_{1}}{Q_{1}} \right)=\eta_{1}+\eta_{2}(1-\eta_{1})=1-\frac{T_{3}}{T_{1}} $$
3-51
与 3-50 相似，这种类似多个热机的组合情形，分别分析各个热机和热机间的等量关系即可。对于本题，其中热机有 $$ \frac{Q_{2}}{Q_{1}}=\frac{T_{2}}{T_{1}}, \quad\frac{~W}{Q_{1}}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}=\eta_{1} $$ 而对于制冷机则有 $$ \frac{W}{Q_{2}’}=1-\frac{T_{3}}{T_{2}}=\eta_{2} $$ 联立即得 $$ \eta = \frac{Q_{2}+Q_{2}’}{Q_{1}}=\frac{T_{2}}{T_{1}}+\frac{\eta_{1}}{\eta_{2}}=\frac{333}{483}+\frac{1-\frac{333}{483}}{1-\frac{288}{333}}=2.98 $$ 这说明暖气系统中水得到的热量为煤发热的 2.98 倍，数值为 $$ Q=2.98\times 3.34\times 10^7J=9.98\times 10^7J $$
4-4
首先回忆范氏气体的状态方程 $$ \left( p-\frac{a}{\nu^2} \right)(\nu-b)=RT $$ 参考教材 P168-170，我们有 $$ \left( \frac{ \partial U }{ \partial V } \right)_T = T \left( \frac{ \partial p }{ \partial T } \right)_V-p $$ 这个关系式对任意物体都成立。
我们将 1 mol 范德瓦尔斯气体的内能视为 V 和 T 的函数（由于是 1mol 气体有 $V=\nu$），则其全微分为 $$ dU=C_{V}dT+\left[T \left( \frac{ \partial p }{ \partial T } \right)-p\right]dV=C_{V}dT+\left(\frac{RT}{V-b}-p\right)dV=C_{V}dT+\frac{a}{V^2}dV $$ 两边积分即得 $$ U_{2}=U_{1}+C_{V}(T_{2}-T_{1})+a\left( \frac{1}{V_{1}}-\frac{1}{V_{2}} \right) $$ 需要注意的是，这里需要我们默认 Cv 是随温度不变的常数，但对于实际的气体是不成立的！例如只有在一定温度以上，气体的振动能级才会被激发出来。
4-5
我们仍然认为范氏气体的热容不随温度变化。由热力学第二定律 $$ 0=\mathrm{d}{\kern{-8mu}\overline{\tiny{\phantom{t\ }}}}Q=dU+pdV=\left(C_{V}dT+\left(\frac{RT}{V-b}-p\right)dV\right)+pdV=C_{V}dT+\frac{RT}{V-b}dV $$ 分离变量得 $$ C_{V} \frac{dT}{T}+\frac{R}{V-b}dV=0 $$ 积分得 $$ T(V-b)^{R/C_{V}}=Const $$
4-6
参考教材 P 168-170，我们有 $$ \left( \frac{ \partial U }{ \partial V } \right){T}=T\left( \frac{ \partial p }{ \partial T } \right){V}-p $$ 以及 $$ C_{p}=C_{V}+T\left( \frac{ \partial p }{ \partial T } \right){V}\left( \frac{ \partial V }{ \partial T } \right){p} $$ 这个两个关系式对任意物体都成立。
（1）由热力学第一定律 $$ \begin{align} \mathrm{d}{\kern{-8mu}\overline{\tiny{\phantom{t\ }}}}Q&=dU+pdV \ &=\left[\left( \frac{ \partial U }{ \partial p } \right){p}dT+\left( \frac{ \partial U }{ \partial p } \right){T}dp\right] + p\left[\left( \frac{ \partial V }{ \partial T } \right){p}dT + \left( \frac{ \partial V }{ \partial p } \right){T}dp\right] \ &=\left[\left( \frac{ \partial U }{ \partial p } \right){p}+p\left( \frac{ \partial V }{ \partial T } \right){p}\right]dT + \left[\left( p\frac{ \partial V }{ \partial p } \right){T}+\left( \frac{ \partial U }{ \partial p } \right){T}\right]dp \ \end{align} $$ （2）对定压热容有 $$ C_{p}=\left( \frac{\mathrm{d}{\kern{-8mu}\overline{\tiny{\phantom{t\ }}}}Q}{dT} \right){p}=\left( \frac{ \partial U }{ \partial T } \right){p}+p\left( \frac{ \partial V }{ \partial T } \right){p} $$ 这里采取了更容易理解的写法，更准确的写法应该应用气体的 H。总之，由定压热容的表达式 $$ \begin{align} \left( \frac{ \partial U }{ \partial T } \right){p} &=C_{p}-p\left( \frac{ \partial V }{ \partial T } \right){p} \ &=C{p}-\frac{1}{V}\left( \frac{ \partial V }{ \partial T } \right){p}pV \ &=C{p}-\alpha pV \end{align} $$ （3）与第二问类似，从左到右的推理比较困难，我们化简左式即可 $$ \begin{align} pV\beta-(C_{p}-C_{V}) \frac{\beta}{\alpha}&=p\left( \frac{ \partial V }{ \partial p } \right){T}-T\left( \frac{ \partial p }{ \partial T } \right){V}\left( \frac{ \partial V }{ \partial T } \right){p}\frac{-\frac{1}{V}\left( \frac{ \partial V }{ \partial p } \right){T}}{\frac{1}{V}\left( \frac{ \partial V }{ \partial T } \right)_{p}} \
&=-p\left( \frac{ \partial V }{ \partial p } \right){T} + T\left( \frac{ \partial p }{ \partial T } \right){V}\left( \frac{ \partial V }{ \partial p } \right){T} \ &=\left( \frac{ \partial V }{ \partial p } \right){T}\left[T\left( \frac{ \partial p }{ \partial T } \right){V}-p\right] \ &=\left( \frac{ \partial V }{ \partial p } \right){T}\left( \frac{ \partial U }{ \partial V } \right){T} \ &=\left( \frac{ \partial U }{ \partial p } \right){T} \end{align} $$ 即所求。
4-7
参考教材 P 168-170，我们有 $$ \left( \frac{ \partial U }{ \partial V } \right){T}=T\left( \frac{ \partial p }{ \partial T } \right){V}-p $$ 关系式对任意物体都成立。
对于本体有 $p=\frac{1}{3}aT^4$，带入上式即可 $$ \begin{align} u=\left( \frac{ \partial U }{ \partial V } \right){T}=T\left( \frac{ \partial p }{ \partial T } \right){V}-p=\frac{4}{3}aT^4-\frac{1}{3}aT^4=aT^4 \end{align} $$ 也即黑体辐射定律。
4-8
（1）对于卡诺热机有 $$ \frac{W}{Q_{1}}=\eta=1-\frac{T_{2}}{T_{1}} $$ 所以 $$ \frac{dQ_{1m}}{dt}=\frac{1}{\eta} \frac{dW}{dt}=\frac{T_{1}}{T_{1}-T_{2}} \frac{dW}{dt} $$ （2）考虑房间的吸放热平衡 $$ \alpha(T_{2}-T_{1})=\frac{T_{1}}{T_{1}-T_{2}} \frac{dW}{dt} $$ 解得 $$ T_{1}=T_{2}+\frac{1}{2\alpha} \frac{dW}{dt}\left[1\pm\sqrt{ 1+4\alpha T_{2} / \frac{dW}{dt}}\right] $$ 由于 T1>T2 ,我们保留具有物理意义的解，故答案为 $$ T_{1}=T_{2}+\frac{1}{2\alpha} \frac{dW}{dt}\left[1+\sqrt{ 1+4\alpha T_{2} / \frac{dW}{dt}}\right] $$