Chapter1: 12, 14
Chapter3: 12, 15, 1, 2, 11, 16
作业答案
1-12
(1) 对具有两个独立参量T，p的物质，应有$V=V(T,p)$，则 $$ dV = \left(\frac{ \partial V }{ \partial T }\right)_pdT + \left(\frac{ \partial V }{ \partial p }\right)_TdT \tag{1-12.1} $$ 同时又有等压膨胀系数 $\alpha$ 和等温压缩系数 $\beta$ 的定义 $$ \alpha=\frac{1}{V}\left(\frac{ \partial V }{ \partial T } \right)_p~~~~ \beta=-\frac{1}{V}\left(\frac{ \partial V }{ \partial p } \right)_T $$ 于是易得 $$ \ln V=\int \frac{dV}{V} =\int (\alpha dT-\beta dp) $$ (2)由题意，我们将这些系数的表达式带入第一问(1-12.1)中 $$ dV=\frac{nR}{p}dT-(\frac{V}{p}+a)dp \tag{1-12.2} $$ 在推导的过程中，要时刻记住自由参量是T，p和n，而V为它们的函数。为了得到它的物态方程，我们可以考虑初始条件为 $(p_0, T_0, V_0)$ 的物质，先经过等压变化到 $(p_0, T, V_1)$，然后再经过等温变化到 $(p,T,V)$。当然，在p-T图中选择其他你喜欢的路径也可以。 对于等压变化有$dp=0, p=p_0$，故有 $$ dV=\frac{nR}{p}dT \quad \rightarrow \quad V_1=V_0+nR(T-T_0)/p_0 $$ 对于等温变化有$dT=0, T=T$，所以 $$ dV=-(\frac{V}{p}+a)dp \quad \rightarrow \quad dpV=pdV+Vdp=-apdp~~ \rightarrow~~pV-p_0V_1=\frac{1}{2}ap^2-p_0^2 $$ 联立即有 $$ pV-nRT+\frac{1}{2}ap^2=C $$ 其中C为常数。 当然，出于敏锐的直觉，由（1-12.2）也可以直接得到 $$ pV=\int (pdV+Vdp)=\int (nRdT-apdp)=nRT-\frac{1}{2}ap^2+C $$
1-14
对于本题，我们想要求得的是末态的状态量，它仅仅由末态决定，而与如何从初态变化到末态无关，所以不妨考虑这样的过程 （1）先自由升温60$^{\circ}$C，此时两棒压力为零，长度从$l_{10}\rightarrow l_{11},l_{20}\rightarrow l_{21}$ （2）在这个温度下进行等温压缩，这样便能使用胡克定律（见教材P32）
对于过程（1），我们考虑等温线膨胀系数得到长度的变化 $$ l_{i1} = l_{i0} (1+\alpha_{i}\Delta T),\quad i=1,2 $$ 对于过程（2），压缩后两棒相对于$l_{i1}$的伸长量不同，不妨设为$\Delta l_{1},\Delta l_{2}$。由题设，两棒的长度之和没有改变，也即 $$ l_{11}+l_{21}+\Delta l_{1}+\Delta l_{2}=l_{10}+l_{20} $$ 同时，由于它们相互挤压达到平衡，说明其压力相同。由胡克定律，我们有 $$ p=\frac{F}{A}=-Y_{1}\frac{\Delta l_{1}}{l_{10}}=-Y_{2}\frac{\Delta l_{2}}{l_{20}} $$ 联立以上三式，得到 $$ p=\frac{(\alpha_{1}l_{10}+\alpha_{2}l_{20})\Delta T} {(1+\alpha_{1}\Delta T) l_{10}/Y_{1}+(1+\alpha_{2}\Delta T) l_{20}/Y_{2}}=1.2\times 10^8Pa $$
其中两钟材料的杨氏模量、线膨胀系数和在原来温度下的长度如下（部分来自教材） \begin{align*} &l_{10}=0.45m &&L_{20}=0.25m \\ &\alpha_1=1.2\times 10^{-5}K^{-1} &&\alpha_{2}=2.5\times 10^{-5}K^{-1} &\\ &Y_{1}=2\times 10^{11}N \cdot m^{-2} &&Y_{2}=0.7\times 10^{11}N\cdot m^{-2} & \\ \end{align*} 实际上，我们也可以运用1-12的结论，不难看出线膨胀系数与等压膨胀系数，杨氏模量与等温压缩系数都可以一一对应起来，这一部分就交给同学们自己导出金属棒的物态方程了。
3-12
（1）对于p-V图上顺时针变化的循环，他一个周期的对外做功与其面积相同。在图3－12中，我们从左下角开始，按顺时针方向，依次将该四边形的顶点记做ABCD，则 $$ W=S_{ABCD}=7.55mmHg\cdot L=1.01J $$ 需要注意的是该四边形并非是平行四边形，需要仔细计算其面积。 （2）估算中不妨做如下近似：认为肺内气体和外界气体温度和压强相同，则呼出的气体的分子数目为 $$ N=N_A\frac{p_{0}V_{max}}{RT}=3.49\times10^{22}, \quad where~ V_{max}=1.4L, p_{0}=760mmHg=1.01\times 10^5Pa $$ 此处采取压强为大气压，如果用最大压强作计算也可以。
3-15
写出1mol范德瓦尔斯气体的状态方程 $$ (p+\frac{a}{\nu^2})(\nu-b)=RT $$ 外界对气体做功为 $$ W=\int_{\nu_i}^{\nu_f} -pd\nu = \int_{\nu_i}^{\nu_f} \left(\frac{a}{\nu^2}-\frac{RT}{\nu-b}\right)d\nu =a(\frac{1}{\nu_i}-\frac{1}{\nu_f})-RT\ln(\frac{\nu_f-b}{\nu_i-b}) $$
3-1
认为初末态样品和容器构成的系统能量守恒，则样品释放的热量全部转化为铜和水的内能。同时，末态系统达到热平衡，三者的温度均为$T_2=26.1$, 则有 $$ mc(T_0-T_2)=m_1c_1(T_2-T_1)+m_2c_2(T_2-T_1) $$ 其中$T_0=100,~T_1=19.0$，分别为初态样品、水和铜的温度，$m=0.085kg$，$m_1=0.2kg$,$m_2=0.15kg$， 分别为样品、水和铜的温度，解得 $$ c=1.012\times10^3J/(kg\cdot K) $$
3-2
对于理想气体，我们依次写出其初态和末态满足的理想气体状态方程 $$ \begin{align} p_1V&=n_1RT_1 \ p_2V&=n_2RT_2 \ 2p_3V&=(n_1+n_2)RT_3 \end{align} $$ 同时由于其与外界没有发生能量交换（区分：没有从外界吸放热），这说明其内能不变 $$ cn_1T_1+cn_2T_2=c(n_1+n_2)T_3 $$ 联立上述四个方程，解得 $$ p_3=(p_1+p_2)/2,\quad T_3=\frac{p_1+p_2}{p_1T_2+p_2T_1}T_1T_2 $$
3-11
（1）时间长为 $$ t=E/\dot{E}=((2+17)\times4+7\times9)/510~h=0.27h=16min $$ （2）考虑一种违背热二极端情况，我们认为消耗的能量全部转化为动能： $$ \frac{1}{2}mv^2=E \quad ~\rightarrow\quad ~v=\sqrt{ \frac{2E}{m} }=139.5m/s $$ 其中1cal=4.18J。 这显然有悖于我们的生活经验，实际情况中，由于重心的上下运动、地面摩擦和风阻等影响，人的功率（~100W）做多能提供到10m/s的速度。
3-16
（1）为了得到气体的吸热，我们先计算这团气体的质量 $$ m_0=\rho V=34.8kg $$ 对于等容变化，吸热为 $$ Q=C_Vm_0\Delta T=C_pm\Delta T/\gamma=4.916\times10^5J $$ （2）对于等压变化，吸热为 $$ Q=C_pm_0\Delta T=6.93\times10^5J $$ （3）由理想气体状态方程，对于容器内的气体，其体积和压强都不变，则 $$ pV=nRT=Const\quad \rightarrow\quad mT=Const $$ 即容器内的气体质量和其温度的乘积为常数。 则所需的热量为 $$ Q=\int dQ =\int C_p m(T)dT=C_pm_0T_0\int \frac{dT}{T} = C_pm_0T_0\ln\frac{T_2}{T_1}=6.678\times10^5J $$